王勇强高中数学工作室
    高考试题研究论文
  • 作者:王勇强  创建时间:2016-09-29  阅读次数:1017  所在工作室:王勇强高中数学工作室

朴实蕴灵动   简约显大气

                 ——2016年浙江高考数列题的赏析

 王勇强     (湖州市教育科学研究中心  浙江湖州  313000

    手机:13819273498    邮箱:hzwzwyq@163.com      

 要:文章通过对2016年浙江高考数列题的呈现,赏析,解法探究,变式以及反思,给出些许教学启示.例如引导学生重视课本核心概念,引导学生重视在新的问题情境中迁移与运用平时积累的数学基本活动经验,引导学生真正参与到数学思维活动中等,予以抛砖引玉,以期对数学教学有所帮助.

 

关键词:高考;数列;概念本质;数学基本活动经验;教学启示

作者简介:王勇强(1974—),男,浙江金华人,中学高级教师,研究方向:数学教育

 

      朴实蕴灵动 简约显大气(定稿).doc 数列高中数学核心内容之一,具有丰富的内涵和外延,它可以沟通函数、方程、不等式等内容之间的联系,常受到高考命题者的青睐.2016年浙江高考数学试卷也对它进行了重点的考查,主要考查等差数列和等比数列的概念、通项公式、求和公式等基础知识,考查数列的递推关系与单调性以及与不等式性质的联系,同时考查了学生的命题转换、数形结合和分类讨论的数学思想方法以及推理论证能力分析问题和解决问题的能力.理科卷考查数列的具体题目有第620题;文科卷也有第817题考查了数列(文科卷8题与理科卷第6题完全相同.其中理科卷的第8题和第20题是其中最为出彩的好题,细细品味,意蕴深远,同时也是令大多数考生头疼的考题.笔者认真思考了这两题,作一个简要的赏析,用于抛砖引玉.

1  细品概念  朴实灵动

2016年高考数学浙江理科卷第6 题如下:                      

如图1,点列分别在某锐角的两边上,且

表示点不重合)

的面积,则(     

A是等差数列  B是等差数列   C是等差数列  D是等差数列 

分析:粗略一看,感觉本题既抽象又朴实文字表述较抽象,但所给的图形却是考生在中学学习数学时熟悉朴实的几何图形.本题考查的是平面几何的两个基本量——两点间距离与三角形面积的运算以及抽象概括和推理论证的能力,符合浙江省重基础、重本质、考查学生数学核心素养的一贯命题思路不少考生在考场上感觉无从下手,乱算一气,最后猜一个答案.但若能仔细挖掘,运用数形结合的思想方法,用代数的方法来研究几何问题,可看出本题蕴含的等差数列概念的几何本质——等差数列的图象是某直线上一群等距且孤立的点,从而顺利找到解题的突破口,灵动解题

以直线轴,建立如图2所示的坐标系,这个条件可得,点列的纵坐标成等差数列;又由这个条件可得,是等差数列,故选而当且仅当,即时,成等差数列,故选项不恒成立因此,深刻理解等差数列的概念,就能找到本质、自然、灵动的解法.

       

点评:以上这道数列选择考查的重点不是“算”而是“想”.从以上分析与解题过程看,试题强调数学思维与本质,要求考生深刻理解概念,并能合理转化、灵活运用.在问题的数形转化和对等差数列概念的多元表征中,凸显概念的数学本质.

章建跃先生认为:从数学角度衡量,好题具有以下品质:与重要的数学概念和性质相关,体现基础知识的联系性,解题方法自然、多样,具有自我生长的能力等;从培养思维能力的角度,好题则应有:问题是自然的,对学生的智力有适度的挑战性,题意明确、不纠缠于细枝末节,表述形式简洁、流畅、好懂等.

     由此,我个人认为理科第6题是一道拥有等差数列几何背景,与重要的数学概念相关,体现基础知识的联系性,解题方法自然、灵动,体现思维能力的好题,而理科第20题则在经典的递推数列问题中植入新的设问,令人耳目一新.

2  简约大气  锐意创新

    2016年高考数学浙江理科卷第20题如下:

    设数列满足.

    ()证明: 

    (),证明:.

 评析:经典的递推数列问题在浙江高考解答题中反复出现,早一些的时候出现在2004年第22题、200520200620200822中,另外2015也将递推数列问题第20题作为整卷的最后一题.本题主要考查考查数列的递推关系与单调性以及与不等式性质的联系,同时考查了学生的命题转换、分类讨论的数学思想方法以及推理论证能力分析问题和解决问题的能力.该题的文字表述非常简洁、流畅,设问层次递进,数学内涵却很丰富,给人一种简约之中彰显大气的韵味.该题经典的递推数列问题加入绝对值,并与不等式结合,从而挖掘出新的设问,其深刻的数学思想更令人回味

分析:对于第1小题,若将问题的题干简化为

则可变形为,或

于是问题变为考生熟悉的构造等比数列求通项公式的问题或数列累加求和问题.故要解决此题,则需将平时积累的数列求通项、求和的典型数学思维活动经验迁移到含绝对值、不等式符号的创新设问情境中.下面分别给出两种方法解决第1小题.

方法1    由题意和绝对值三角不等式知,,

                                于是,

1)当时,恒成立

2时,由式子)得到,从而

    所以,故

    综上可知,

方法2    由题意和绝对值三角不等式知,,

                                于是,,(

所以,

     点评:本小题题所依据的数学基本思维活动经验“构造等比数列求通项公式的经验或数列累加求和经验”,当然也用到了绝对值三角不等式的性质. 种将”看成整体构造等比数列的基本思维活动经验大多数高三学生都有解题的关键不是数学基本思维活动经验的积累,而是数学活动经验的迁移与运用,将其迁移运用在“等”到“不等”的新情境,引导和促进学生“再发现”“再创造”新知识,从而顺利解决问题

对于第2小题,,证明:.

分析:初步审题时发现,本小题的解题起点是,终点是本小题问题表述形式简洁、流畅、好懂,题意明确、不纠缠于细枝末节,简约之中彰显大气.本小题要做的事情是要将的值从不断随的增大而增大到无穷大,到控制成的值始终有界,不超过2这对学生的智力带来适度的挑战这种无限到有限的转换过程,既有趣又有数学味,值得挑战与探究

析:那么如何将联系起来,考虑到第1小题带来的数学思维活动经验,将变形为,再结合式子(),任取

对于任意

                        

的任意性,当时,

综上可知,任取

     另解若将本小题的解题的起点与终点做些调整互换,则可用反证法来解决

若存在使得则由1小题方法1可得又因为,所以,即

时,,而是一个给定的正数,于是式子不可能对一切恒成立所以,反设不成立故任取

     小结以上自然的解题思路源平时积累的“四基”与第1小题的“解题思维活动经验”的铺垫与引导在第2小题的解题过程中,题干中条件只在式子)或式子中呈现,若将条件改为条件,结论不变由此可揭示出该问题的本质——对于任一个给定的正整数的值,与一个无穷小量的乘积还是一个无穷小量这种“重思维、重本质、显能力、出新意”的试题为考生搭建了良好的区分平台,凸显了试卷的选拔功能

3 教学启示    值得反思

对于经典的数列内容,不少学生看似熟悉,觉得自己已掌握了数列的基础知识、基本技能和基本数学思想方法,也积累了一些基本数学活动经验,认为考试中碰上数列题不会有大的问题,但实际上今年高考的2道数列题都成为大多数考生头疼的考题这说明目前的数学教学还存在着一些问题.问题在于平时教学没有重视核心概念,学生没有透彻理解核心概念的内涵与外延;问题在于平时教学没有重视学生对基本数学活动经验的主动运用,相对于积累数学活动经验缺乏对思维活动经验的回顾反思,缺乏在新的情境中对数学思维活动经验的充实深化和主动实践;问题还是在于平时教学没有重视学生如何发现和提出问题、如何独立分析数学问题、如何主动构建研究问题的方法和策略以及如何去掌握解决一些深刻数学问题的基本思想方法等作为主要的教学目标 

若教师能在教学中引导学生重视课本、重视核心概念、重视基本的数学思想方法;重视引导和促进学生主动在新的问题情境中迁移与运用平时积累的经验,并引导学生主动与之前的经验进行对接与融合,再次积累新的数学活动经验用于迁移与内化;重视引导学生真正参与数学思维活动,让学生学习如何读题,分析题意,如何进行多元联系、多角度转化,如何寻找已知与未知的关系去获得解题的思路,那么学生就会养成良好的思考问题的习惯,在转化的意识与方法上有所提高,就会真正提高学习效率.这样也才会使数学教学真正摆脱题海,事半功倍,为学生谋取更广大的长远利益.

 

参考文献

【1】 章建跃. 让学生解好题. 中小学数学:高中版[J].2012(10):封底

【2】 罗新兵 卢恒. 数学活动经验的积累与运用. 中学数学教学参考:高中版[J].20159):11-14

【3】 王勇强. 二次函数  永恒的经典. 数学通讯[J].201511):24-27

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