项法元小学数学工作室
    他山之石“数学教师的基本功”之三善于优化
  • 作者:董兵  创建时间:2015-05-19  阅读次数:557  所在工作室:项法元小学数学工作室

          南京大学哲学系     郑毓信
  数学思维不可能自发地得以形成,而主要是一个文化继承的过程。从而,从总体上说,数学学习也必然地有一个“优化”的过程,或者说,数学教师的又一重要职责,是帮助学生很好地实现思维的优化。
  显然,从这样的角度去分析,我们也就立即可以看出以下一些做法的错误性,因为,教师在此事实上成了某些调皮学生的“尾巴”,以致未能发挥应有的指导作用。
  在一篇题为《新课程中教师怎样关注学生》①的文章中,作者提出了这样的观点:教学工作应当以学生为本,以学生的发展为本,从而,教师在自己的教学工作中也就应当“关注学生的表现,欣赏学生的想法,重视学生的问题,接纳学生的意见,宽容学生的错误,满足学生的需要”。
  上述立场无疑是正确的。但是,我们在此又应防止另外一种倾向,即由忽视学生的发展转而完全放弃了教学所应具有的指导作用。例如,当教师要求学生从不同角度说出8的各种性质,而学生说出“8是16的儿子”时,教师是否应当仅仅停留于“欣赏”而完全放弃了应有的引导?因为,学生的这一说法明显地具有不确定性和含糊性,而学习数学的主要目的之一就是掌握数学这样一种“自然科学的语言”。与自然语言相比;自然科学语言的主要优点之一就是具有确定性和精确性。再例如,当学生提出“被减数与减数完全相同的时候,可以交换它们的位置”日甘,尽管教师可以而且应当“为学生敢于向老师挑战而感到欣慰”(因为教师在当时所强调的是:“在减法中,被减数与减数绝对不可以交换位置。”)。但是,学生的这一提法是否真的可以被看成“缜密的思维”,进而,在被减数与减数能否交换”这样一些十分重要而学生又特别容易弄错的地方,教师又是否应当“不加思考地”认错?
  为了更为深刻地揭示“思维优化”的内涵,以下再联系数学思维的特征对此做出进一步的分析。    
  如前所述(见《善于举例》与《善于提问》两文,分别载《人民教育》2008年第18、19期),特殊的研究视角或抽象内容正是数学思维的一个主要特征:数学所关注的只是事物和现象的量性特征,但却完全舍弃了对象的质的内容。在此要强调的是,与其他学科相比数学达到了更高的抽象高度,因为,无论就代数(算术)思维或是几何思维而言,它们都可被看成一种“自反抽象”,即是以已得到建构的东西为基础不断地去实行新的建构,从而就不断达到了新的、更高的抽象高度。 
  例如,相对于1+2=2+1这样的具体数量关系式而言,a+b=b+a显然代表了认识的重要进步,而后者又正是对于诸多类似关系式在更高层次上的一个概括。这也就如著名哲学家怀特海所指出的:“在代数中,思想上限于特定数的限制取消了。我们写‘x+y〓y+x’,在这里,x和y是任何的两个数。这样,对模式的强调(不同于模式所涉及的特殊实体)增强了。”②当然,又如人们所了解的,在现代数学中a和b所代表的未必是具体的数量,可以是各种可能的对象,比如,(a+b)既可能代表(刚性)运动的叠加,也可能代表变化的复合,等等,从而体现了更高程度的抽象。
  正因为新的、更高层次的抽象相对于先前的抽象而言代表了认识的深化,这就从叉一角度更为清楚地表明了优化对于数学学习的特殊重要性。特别是,由于所说的深化在很多情况下往往也包含了观念的必要更新,即是用一种新的不同观点去看待一件熟悉的事物,甚至是用完全不相容的观点去取代原先`的认识,因此,后者事实上也就应当被看成数学学习中“思维优化”的又一重要内涵。 
  例如,由于学生最初所接触的往往是自然数的运算,因此,以下一些认识的形成就十分自然了:“乘法总是使数变大”,“减,法总是较大的数减去较小的数”,等等;但是,随着分数与负数的引进,这些结论显然就不再成立了。如果在教学中我们未能及时帮助学生很好地去实现相应观念的必要更新,就会对新的学习活动造成严重的消极影响,出现如下的“规律性错误”。
  这是在有理数乘除法的教学中经常可以看到的一种错误:尽管两个问题有着完全相同的数学结构,学生却采用了不同的运算去求解——也正因为如此,研究者们将此类错误称为运算的不守恒性”。
   例如,在一次实验中学生被要求回答应当用什么样的方法去求解以下两个问题:
  (1)某种奶酪的售价为每公斤28元,问:5公斤这样的奶酪售价是多少?   
  (2)某种奶酪的售价为每公斤27.50元,问:0.923公斤这样的奶酪售价是多少? …
  尽管实验者做了明显的提示,但是,被提问的学生仍然经常这样回答:应当用乘法求解第一个问题,第二个问题则应选用除法。
   •调查表明,导致上述错误的主要原因是:首先,学生头脑中存在关于乘除法的某些“基本原型”。例如,研究表明,大多数以色列学生关于乘法的原型主←要是“倍数问题”;美国学生关于除法的基本原型则主要是“分配问题”。显然,“基本原型”的存在主要反映了先前的学习活动包括生活经验会对主体进一步的学习活动产生十分重要的影响。其次,大多数学生又正是通过先前的学习,逐渐形成了与乘除运算直接相关的一些观念,特别是,由于学生在开始学习乘除法时所接触到的都是比较简单的情况,也即主要局限于正整数的乘除,从而就很容易形成以下观念:“乘法总是使数变大,除法则总是使数变小;从而,在求解应用题时我们也就应当以较大的数作被除数,而以较小的数作除数。”
  由于概念的不断扩展正是数学发展的一个基本形式,因此,由以上的分析我们也就可以立即引出这样的结论:观念的不断更新同样应当被看成数学思维发展的一个基本形式;进而,由于此类“规律性错误”的出现实非偶然,而是有其一定的认识论根源(或者说,这种错误事实上也有其下定的合理性),因此,相应的思维优化(或者说,观念的必要更新)也就不可能通过简单的示范或纠错得到实现,关键在于我们如何能够在学生头脑中引起必要的观念冲突,使之真正成为学生的一种自觉行为。
  以下就是实现上述目标的一些有效措施:  
  第一,必要的比较。正如《善于举例》一文所已提及的,在一些学者看来,比较即是学习的本质所在,而这显然也为思维的必要优化提供了重要的背景。努力保持教学的开放性,如积极倡导解题方法的多样化等,与“思维的必要优化”不应当看成是直接相冲突的,相反,如何能很好地处理多元化与思维的必要优化这两者之间的辩证关系,正是教学艺术性的重要表现。这应被看成好的数学教学所应努力追求的一个目标。
  第二,为了使思维的必要优化真正成为学生的自觉行为,我们又应努力促进学生的反思。例如,正如《善于提问》一文所提及的,在成功地解决了所面临的问题以后,我们就应促使他们对相应的解题活动作出总结与反思,如能否用别的方法去求解同一问题,这些方法又各有什么优点和局限性,等等。

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