蒋际明高中数学工作室
    张奠宙谈数学文化
  • 作者:jjm  创建时间:2015-05-05  阅读次数:758  所在工作室:蒋际明高中数学工作室

张奠宙简介:浙江奉化人。1933年出生。1956年毕业于华东师范大学数学系数学分析研究生班。1986年教授。 1999年,当选为国际欧亚科学院的院士成员。

  谢谢主持人, 谢谢各位光临。 今天我想要谈的题目是数学文化。数学文化不大有人听见,这个词儿好像数学跟文化连不起来,数学是干巴巴的,属于比较枯燥的,文化又是那么丰富生动, 这两者可能联系不起来。但是我觉得这非常重要。我想我们先看看这样的一个图像,这个图像叫曼德伯罗伊特图,它是用一个2次的复数的叠代出来的一个图形。

 

 

 

 

 

我们这里可以看到像一个葫芦形的东西,外面有些须须,可是我们如果一旦进去的话,从任何一个地方进去,你看它的形象,它的局部和整体非常相像,我们再往里面看,任何一个进去, 它又出来一个当中的黑点,旁边有几个弯弯的须须,在任何一个地方进去又是这样的,随便你哪里进去都可以。这个是不是有点像克隆?就是我们很小的一个地方它和整体都很相像。数学家原来不知道这个东西,是曼德伯罗伊特用这个方程,用计算机来做了之后, 就慢慢地发现了原来自相似性。自己跟自己相似,每一个细胞跟他整个人相似,这种现象在数学里面是经常见到的。我们一棵柏树,也是有这种自相似性的,所以我说像这样的图形,它已经把数学跟艺术都连在一起了。数学就不再是几条公式,它跟我们人类的生活,跟信息时代,我们的一些欣赏习惯等等都可以有密切的联系。我想这样的数学恐怕不是我们在中小学课堂里面学习的那一种数学,这是信息时代的数学,是我们将来在信息时代经常会碰到的,我们在书的各个封面上面看到的许多分形图像,就是这样的一种数学的产物。数学可以产生这么漂亮的东西,我想是我目前所想不到的,这就是我的一个开场。给大家看一看,我想可以理解一下新的数学是怎么一回事。

  那关于数学文化,我想首先想到的是数学是理性文明的火车头。我想我们人类的文明,大概有四个高峰。在古希腊时代, 数学仍然是古希腊文明的一个火车头。大家都知道 《几何原本》, 它的影响是如此之大,一直影响到今天,它是印刷数量、版本仅次于《圣经》的读物。后来第二个高峰就是在近代文明,就是文艺复兴到17世纪到18世纪。牛顿发明了微积分, 连同他的力学把整个科学带到了新的境界,那就是黄金时代。 那时候的工程技术、资本主义工业生产、 工业革命、法国大革命都是在这样的基础上面开展起来的。第三个现代文明,我们假定说爱因斯坦的相对论为基础,那么在19世纪我们就为他准备了。从高斯、 黎曼准备了很多数学工作, 黎曼几何就是相对论的数学基础。所以没有数学的发展,相对论就找不到一个可以表达的数学工具。那么到了20世纪下半叶信息时代文明,信息时代就是冯·诺依曼创造了计算机的方案。今天我们广泛使用的改变了人类社会形态生活方式的计算机,它的方案是一位数学家设计出来的,他就是冯·诺依曼。所以我说数学和社会的发展同步,数学和人类的文化共生。因此数学不仅仅是一些干巴巴的条文,它是密切和人类文化联系在一起的。

  我希望我们大家来了解数学,有三个层面:一个层面就是公式定理,像勾股定理、求根公式等等。第二个层面就是思想, 就是我们公理化思想, 数形结合、 函数思想等等。 这样一些思想层面的解析几何,解析几何的方法诸如此类坐标方法。还有一个层次就是文化价值。数学有好的数学,有价值的数学,有意义的数学, 这是一种看法。什么叫做好, 什么叫做有价值, 怎么叫做有意义, 如何来判断,这就要靠文化的层面来看。你要看到时代的发展,看到人类社会的需要,看到我们现在的文明,看到人们的趋向趣味,这样来解决你这个数学是不是有价值。 如果把数学看成仅仅是逻辑,仅仅是形式,仅仅是思想的体操,那么我们就是很少注意文化的层面,那么先进的数学文化就会推动数学发展,落后的数学文化就会拖拉数学的进步。

  我们看看,举个例子看看我们这个在1906年我们京师大学堂,用的数学教课书是这样的东西。那个时候不能用x y z, 那是外国货,我们不能用的,用天 地 人 也就能用a b c d, 也只能用甲乙丙丁, 阿拉伯数学不能用,用一二三四; 加法不能用用一竖一横;减法不能用,用一横一竖这样的数。 我们当时的爷爷辈,他们就得念这样的书。 什么文化决定的? 当时说“中学为体 西学为用”,清朝末年,认为中学是老祖宗家法,那个东西是不能改的,外国来的东西只能用一用,因此我们就不跟国际接轨,自己搞出了这么一套符号。

  那我们再看看与时俱进的文化,刚才主持人提到陈景润,确实陈景润搞哥德巴赫猜想,他的1+2的结果坚韧不拔,独军奋战,勇攀高峰, 是我们在科学春天里面出现的科学的英雄人物。他代表着那个时代的精神,经过“文革”的动乱,我们需要这样的精神去攀登高峰。 可是在90年代我们又出来另外一种英雄,那就是王选。今年他得了中国国家的最高科学奖,他是1958年北京大学数学系毕业的,他用数学的成果搞了数据压缩,结果就完成了汉字的激光照排,告别了铅与火的革命,他当然是计算机的科学家,但他最重要的工作恰恰是来自他的数据压缩。 作为一个数学应用,王选是我们当今做得最好的。大家想想看,这是不是两种不同的文化。当初陈景润时代代表了一种文化, 王选时代又是一种文化,这就是计算机时代的数据时代,给我们信息时代的数学的印象。

  我们再看一看近十几年来,西方发展了大量的数学,比如说控制论是维纳发明的,他原始的思想是人怎么到地上去捡一支铅笔,慢慢地人越来越接近铅笔,接近多少马上反应在脑子里面,这就是反馈信息。 仙农研究信息论,信息传输,信息讲话, 语言, 这里面怎么会有数学呢?可是仙农就是从这里面创立了数学信息论。纳什研究的博奕平衡,刚才说过了,关于双赢的策略-小波分析, 美国现在在数字电视里面领先,靠的是什么靠的是他的小波数字压缩技术,否则那么大一堆数据,你怎么传输, 传来传去, 传不过去了,压缩了以后才能传过去,跟王选做汉字的信息压缩是同样的。 金融数学有期权公式,曼德伯罗伊特的分形艺术,我刚才已经给大家看过。最近非线性数学有句名言,说巴西的蝴蝶震动一下,纽约就要下大雨。 那意思是说我们这个世界是很多情形是不稳定的, 哪个地方稍微动一动,那边就引起轩然大波。这样的一种情形是非线性数学所特有的。这些里面显示了我们在最近这半个世纪以来数学的一种总的趋向,所以我就想到,我们应该实现数学文化和人类文明的整合,要搞清楚数学的文化背景,搞清楚数学成就的文化价值,把数学的结果它的文化品位发掘出来,用文化的视野来看数学,用数学的眼光来看文化, 发展现代数学, 弘扬世界的文化。

    数学文化如果我们把它打扮起来,数学就是一位光彩照人的科学女王。但是如果你仅仅把数学等于逻辑,等于枯燥的几条公式,那么这个美女就变成X光下面的骷髅,就是X光的照片。我们现在更多的看到的是X光照片,看不到数学科学女王的光彩照人的美容,我们只是看到她的骨骼。下面我就想就这些问题,我们分别来探索一下。

  不同的国家有不同的数学文化,不同的时代也有不同的数学时尚,就像我们穿衣服一样有时尚。中国数学的传统的数学影子,揭示数学文化底蕴和文化品位,最后就是介绍我们自己的文化,来争取成为21世纪的数学大国。我想分别谈一谈。

  我们先看一看,不同的国家有不同的数学文化, 这是什么意思呢?就说两个不同的国家的政治制度学术氛围,决定了它的数学走向。比如说古希腊和中国的传统数学就不一样,古希腊的数学和中国古代数学是两种不同文化下面产生的。古希腊的数学它的背景是什么?古希腊是奴隶主之间的民主政治,男性的奴隶主他们之间有民主,奴隶没有民主,他们之间的选举,执政官来决定财政收入, 决定是否战争宣战。 在这样一种民主的,虽然是少部分人的民主的制度下面平等的学术交流。因为你要说服别人,大家要选举,平等的学术交流。于是它就需要构建一个公理化的数学体系,让大家来思考, 比如说对顶角相等要不要证明。中国的秦汉王朝就不是这样。虽然我们春秋战国时期也非常繁荣,学术非常繁荣,但是它是封建君王的政治, 知识分子比如数学家就向君王进谏说,你照我的办法办, 那么你就能够成功, 你就能够治理国家,你就能使国家富强,请你君王来接受我的意见去实行。这样就需要什么呢?需要丈量田亩、征税、 管理土方、 要管理各个粮食之间的比例。于是就有我们的《九章算术》。 《九章算术》就是管理国家的官方的文书。怎么样丈量田亩,要抽税呀;税怎么抽法,苞米玉米和小麦稻米互相之间的折扣怎么样,你如果是从甲地运到乙地, 这个粮食运输价格该怎么定, 这些地方就是《九章算术》的内容。它是方田章,数理章???这样一些章节都是在讲怎么样管理国家。 大家看看这是不是不同啊,最简单的一个就是这个, 理性思维对顶角相等A=B,这个在中国人看来这个不要证明, 这个证了它干什么,这个东西一看就明白了。但是古希腊就这样证, 它的几何原本就是这样证的,就是A+C是一个平角, B+C也是平角,公理3 等量减等量, 大家都把C减掉, 于是A=B。这么一种证明方法,是在古希腊时代才有,而我们中国没有。 中国的古代算学角这个概念都没有,它认为角不需要,只要垂直就可以了, 不需要有角的概念。我想这些地方都显示出两种不同文化方面,它们确实会产生不同的数学,所以数学它是和当时的政治制度,文化,学术氛围密切相关的。

  其次一个问题,我就想谈一谈不同时代不同数学的时尚。数学时尚是一阵一阵的, 我刚才前面说过,古希腊时代数学的是比较严密的推理,到牛顿时代就是算, 就是做,有成果就行。 20世纪下半叶,数学的应用发展起来了,数学应用在我们中国还是比较缺乏,因为我们过去没有发达的工业,提不出来像样的数学物体要应用,所以我们往往在理论上面,理性方面强调比较多 严格证明, 这是很重要的。但是另外一点应用我们就比较落后。因为我们没有工业,缺乏强大的工业, 提不出重要的问题出来, 所以姜伯驹院士,北京大学姜伯驹院士他就说,20世纪下半叶, 数学最大的进展是应用。你数学用得好你就赢了。这就是把下半叶计算机出现之后,把数学时尚改变了。原来仅仅是搞理论严格性,现在强调应用, 这是数学的两个轮子, 有的时候这个轮子转得快一点,有的时候那个轮子转得快一点,把这两个轮子都要,不是说只要一个轮子,那是不行的。

  第二种数学时尚,就是绝对主义和经验主义。大家都有种感觉,数学大概是绝对正确。 1+1总归等于2,不会有别的事情。 确实在20世纪的上半叶, 绝对主义盛行,就是因为什么事情都可以错,唯独数学是不会错的。后来歌德尔就说,这个不可能做到, 有些数学是可以错的,数学很多本来就是错的,就是牛顿的微积分大家都知道, 是不严格的, 但是它的东西所反映的内容是对的,微积分的本质是对的,它表达方式上面有各种各样的差错,所以牛顿的数学不严格。中国古代数学比如说开方,它有的时候它也不严格, 但这都是数学, 它都是很好的数学,有价值的数学,所以整个数学其实是人做的。我们现代就是提倡经验主义的复兴,有许多事情大家在计算数学方面,很多就是说出来了, 这好像是对的,为什么呢?我一时也说不清楚, 先用了再说, 所以数学也是在可以发生错误,在不断修改自己完善自己当中发展起来的。

还有一种时尚的问题, 就是文化的背景,理性重要还是实用重要?这我就讲一个故事,就是巴斯卡跟费马他们两个人通信。 1645年通信,就提到一个事情:有一笔赌金, 甲乙两个人竞赌, 输赢的概率都一样,都是1/2,谁先能够连赢累计达到5盘,就获得这笔赌金。但是一个特别的原因,突然终止了, 那个时候甲赢了4局,乙赢了3局, 问这笔赌金应该如何分配?这个问题是北大的史书中教授在8月份中央电视台上面也跟大家一起演讲过,他就把这个题目出给在场的观众,观众当中就说,这个应该4/7和3/7,因为一共赛了7局,你赢了4局拿4/7, 我赢了3局拿3/7, 这样是不是合理呢?巴斯卡和费马讨论,说是不行, 不能这样做。他说我们再试一局, 再试一局, 假定试一局是甲赢了,甲就应该拿到全部的赌金,甲赢的概率只有1/2,所以应该是1/2×1 拿到整个一笔赌金。那么如果说乙赢了呢?乙赢了就是乙应该拿1/2, 因为是什么因为甲是4局,乙也是4局, 大家平分。

  所以乙如果赢了,乙拿1/2, 甲拿1/2。 好, 那么根据这个概率, 所以如果甲赢1/2×1 拿1/2,然后再拿1/2当中的1/2,一共加起来是3/4,这就是它的最初的概率论的产生。中国打麻将很厉害的对不对,打了那么多麻将有没有产生概率论?没有。为什么?就是因为我们是在这种实用当中, 功利性的, 所以赢了就完了,不深究, 不细究,缺乏这种非常细致入微的思考。这种数学思考非常重要,一个数学的发展全靠这种功夫。

  我前面说过的,信息论、 控制论, 这种东西看起来不是数学的问题,你去研究它干什么?纳什研究是几个人在那里竞争,这里面有数学吗?觉得没有数学, 但是它确实有数学。 这就是理性和实用之间的关系。仙农当时研究信息量,说信息量这个东西,就是烽火台吧,燃起烽火台, 敌人来了; 没燃烽火台,就是报平安。0和1两种, 那么我们用二为底的对数取1个信息量,但是如果在纣王宠妲己的时代,那个烽火随便燃,这个概率就不准了,你这个信息量就不对了,这个敌人来的概率就不对了,这个当然是我们代仙农的想法。 仙农他自己的想法怎么样呢, 概率对信息量有密切的关系,比如说信息量大小“狗咬人”不是新闻,因为狗咬人没有什么稀奇。 “人咬狗”这个新闻信息量就大了, 是不是? 今天太阳升起, 那没什么稀奇,这个信息量不大, 你告诉我不告诉我都一样。今天日蚀了,哦,今天这是大事情, 那么我们的信息量就很大,说事件的概率P越大,传送这个事情的信息量就越小,概率大了就没有意义了像这样的思考。我们中国传统的数学里面缺乏这样的思考,他就会去面对这样一些社会的需要去想一想,我这个信息量的大小,和一个事情发生的概率有联系,这就是他的天才之处。我觉得我们中国缺乏这样的文化, 虽然我们也有烽火台,我们也传送信息,但是用什么人或者是数学文化当中有这样的精神,去思考这样一些很本质的问题,我们缺乏。

  不同的数学时尚还表现在数学的问题上面,问题提醒,比如说:陈景润搞的哥德巴赫猜想,那是在18世纪的提出来的问题。那个时候提出来就是数论的发生问题,但是在20世纪在信息时代,我们提出的问题就不一样了。 比如像货郎担问题,一个货郎要跑那么多村庄,要每一个村庄都要跑遍,那么有几条路线可以走,那多得不知道有多少,哪条路线能够跑遍所有的村庄最短?这个问题非常困难,现代的计算机要算好几年也未见得算得出来,这个事情是不可解答的,究竟应该怎么样才能把这个问题解决呢?我们找到一种算法,在多项式时间里面把它算出来,这就是现代是我们当今数学的第一号的困难问题,也就是常说的P=NP问题,也就是不是可以找到一个多项式的算法,它的规模是N的多少次方,而不是多少数的N次方。 用多项式算法,能够把货郎担问题算出来,有没有这样的算法,这是世界上头号的数学大问题。这个问题只有今天我们能够提出来,感到需要,因为计算机发达了,需要去用算法来解决我们现在没有解决的问题。

 

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