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    2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
  • 作者:王勇强  创建时间:2017-07-06  阅读次数:1738  所在工作室:王勇强高中数学工作室

2016年清华大学自主招生暨领军计划试题(见附件2016年清华大学自主招生暨领军计划试题.doc)

1.已知函数有最小值,则函数的零点个数为(    

A.          B.          C.          D.取决于的值

答案:注意,答案C.

2. 已知的三个内角所对的边为.下列条件中,能使得的形状唯一确定的有(    

A.          

B.

C.

D.

答案:对于选项A,由于,于是有唯一取值2,符合题意;

对于选项B,由正弦定理,有,可得,无解;

对于选项C,条件即,于是,不符合题意;

对于选项,由正弦定理,有,又,于是,符合题意.

答案:AD.

3.已知函数,下列说法中正确的有(    

A.在点处有公切线

B.存在的某条切线与的某条切线平行

C. 有且只有一个交点

D. 有且只有两个交点

答案:注意到为函数处的切线,

如图,因此答案BD.

4. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,为线段的中点.下列说法中正确的有(    

A.以线段为直径的圆与直线一定相离

B. 的最小值为

C. 的最小值为

D.以线段为直径的圆与轴一定相切

答案:对于选项A,点到准线的距离为

,于是以线段为直径的圆与直线一定相切,进而与直线一定相离;

对于选项B,C,设,则,于是,最小值为4.也可将转化为中点到准线的距离的2倍去得到最小值;

对于选项D,显然中点的横坐标与不一定相等,因此命题错误.

答案:AB.

5. 已知是椭圆的左、右焦点,是椭圆上一点.下列说法中正确的有(    

A.时,满足的点有两个

B. 时,满足的点有四个

C.的周长小于

D. 的面积小于等于

答案:对于选项A,B,椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点;

对于选项C的周长为

对于选项D的面积为.

答案:ABCD.

6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛,有两人获奖.比赛结果揭晓之前,四个人作了如下猜测:

甲:两名获奖者在乙、丙、丁中;乙:我没有获奖,丙获奖了;

丙:甲、丁中有且只有一个获奖;丁:乙说得对.

已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的,那么两个获奖者是(    

A.甲         B.乙          C.丙          D.

答案:乙和丁同时正确或者同时错误,分类即可,答案:BD.

7. 已知为圆的一条弦(非直径),为圆上任意一点,直线与直线相交于点,直线与直线相交于点.以下说法正确的有(    A.四点共圆           B. 四点共圆

C. 四点共圆          D.以上三个说法均不对

答案:7.对于选项A即得;

对于选项B,若命题成立,则为直径,必然有为直角,不符合题意;

对于选项C即得.

答案:AC.

 

 

 

 

 

8.为锐角三角形的(    

A.充分非必要条件             B.必要非充分条件

C.充分必要条件               D. 既不充分也不必要条件

答案:必要性:由于,

类似地,有

于是.

不充分性:当时,不等式成立,但不是锐角三角形.

答案:B.

9.已知为正整数,且,那么方程的解的组数为(    

A.           B.          C.          D.

答案:由于,故.

,则,可得

,则,可得

,则,进而解得

,则,可得.答案:B.

10.集合,任取这三个式子中至少有一个成立,则的最大值为(    

A.          B.          C.          D.

答案:不妨假设,若集合中的正数的个数大于等于4,由于均大于,于是有,从而,矛盾!所以集合中至多有3个正数.同理可知集合中最多有3个负数.

,满足题意,所以的最大值为7.答案B.

11.已知,则下列各式中成立的有(    

A.

B.

C.     D. 

答案:,则

所以

以上三式相加,即有.

类似地,有

以上三式相加,即有.

答案BD.

12.已知实数满足,则的最大值也最小值乘积属于区间(    

A.          B.          C.          D.

答案:设函数,则其导函数,作出的图象,函数的图象在处的切线,以及函数的图象过点的割线,如图,

于是可得

左侧等号当时取得; 右侧等号当时取得.因此原式的最大值为,当时取得;最小值为,当时取得,从而原式的最大值与最小值的乘积为.答案B.

13.已知,则下列结论正确的有(    

A.的最大值为          B. 的最大值为

C. 的最大值为          D. 的最小值为

答案:可得.,则是关于的方程的三个根.,则利用导数可得,所以,等号显然可以取到.故选项A,B都对.

因为,所以,等号显然可以取到,故选项C错误.     答案ABD.

14.数列满足,对任意正整数,以下说法中正确的有(    

A.为定值             B.

C.为完全平方数        D.为完全平方数

答案:因为

.

所以A选项正确;

由于,故

又对任意正整数恒成立,所以

故选项C,D正确. 计算前几个数可判断选项错误.  答案:ACD.

说明:若数列满足,则为定值.

15. 若复数满足,则可以取到的值有(    

A.          B.          C.          D. 

答案:因为,故,等号分别当时取得.答案CD.

16. 从正2016边形的顶点中任取若干个,顺次相连构成多边形,若正多边形的个数为(     )

A.        B.        C.          D.

答案:2016的约数中去掉12,其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出个构成正多边形,这样的正多边形有个,因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去20161008.

考虑到,因此所求正多边形的个数为

.答案C.

17.已知椭圆与直线,过椭圆上一点的平行线,分别交两点.为定值,则    

A.          B.          C.          D.

答案:设点,可得

故意为定值,所以,答案:C.

说明:(1)若将两条直线的方程改为,则

2)两条相交直线上各取一点,使得为定值,则线段中点的轨迹为圆或椭圆.

18. 关于的不定方程的正整数解的组数为(    

A.          B.          C.          D.

答案:方程两边同时模3,可得,因不能被3整除,故不能被3整除,所以,故,所以为偶数,可设,则有

,解得答案:B.

19.因为实数的乘法满足交换律与结合律,所以若干个实数相乘的时候,可以有不同的次序.例如,三个实数相乘的时候,可以有等等不同的次序.个实数相乘时不同的次序有种,则(    

A.          B.          C.          D.

答案:根据卡特兰数的定义,可得.答案:AB.

关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》.

20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛,规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛,两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示:

 

 

 

 

 

表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率,例如甲击败乙的概率是0.3,乙击败丁的概率是0.4.那么甲刻冠军的概率是           .

答案:根据概率的乘法公式 ,所示概率为.

21.在正三棱锥中,的边长为1.设点到平面的距离为,异面直线的距离为.             .

答案:时,趋于与平面垂直,所求极限为边上的高,为.

22.如图,正方体的棱长为1,中心为,则四面体的体积为              .

 

 

 

 

 

 

 

答案:如图,

.

23.              .

答案:根据题意,有.

24.实数满足,则的最大值为           .

答案:根据题意,有,于是,等号当时取得,因此所求最大值为1.

25.均为非负实数,满足,则的最大值与最小值分别为             .

答案:由柯西不等式可知,当且仅当时,取到最大值.

根据题意,有

于是解得.

于是的最小值当时取得,为.

26.内一点,满足,设,则             .答案:根据奔驰定理,有.

27.已知复数,则           .

答案:根据题意,有.

28.已知为非零复数,的实部与虚部均为不小于1的正数,则在复平面中,所对应的向量的端点运动所形成的图形的面积为            .

答案:,由于,于是

如图,弓形面积为

四边形的面积为

.

于是所示求面积为.

29.,则        .

答案:根据题意,有

.

30.16个数:41424344填入一个的数表中,要求每行、每列都恰好有两个偶数,共有          种填法.

答案:首先确定偶数的位置有多少种选择.第一行两个偶数有种选择.

下面考虑这两个偶数所在的列,每列还需要再填空一个偶数,设为.

情形一:若位于同一行,它们的位置有3种选择,剩下的四个偶数所填的位置唯一确定;

情形二:若位于不同的行,位置有6种选择,剩下的四个偶数所填的位置有2种选择.

所以偶数的不是位置数为.因此,总的填法数为.

31.是集合的子集,从中任取3个元素,由小到大排列之后都不能构成等差数列,则中元素个数的最大值为           .

答案:一方面,设,其中.不妨假设.

,由题意,,且,故.同理.又因为,所以,矛盾!故.

另一方面,取,满足题意.

综上所述,中元素个数的最大值为8.

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